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試一下能不能講明白黎曼猜想是什么

能不能簡單解釋黎曼猜想是什么?其實可以。

但是話說在前面,越是簡單的解釋,丟失的信息就越多,所以解釋得越簡單,就越難接著解釋為什么這個東西很重要。

用我能想到的最簡單辦法解釋,是這樣的:根據一個重要的數學公式,能畫出很多很多個點,實際上有無窮多個這樣的點。黎曼覺得,這些點有一部分排成一條橫線,另一部分排成一條豎線所有這些點都在這兩條線上,沒有一個漏網的。

這么一說是不是感覺沒有什么了不起的樣子?那就稍微擴展一點:?

首先,有一個很重要的函數,叫黎曼澤塔函數

這個函數是一個復函數,可以把它理解為有兩個變量的函數,一個叫實部,一個叫虛部。寫成熟悉的函數樣子的話,那就是 y = f (實, 虛)。

這函數長得有點復雜,但可以先從簡單情況看起:假如我們先不管虛部,強制讓虛部=0,那就是一個很普通的函數 y = f’ (實) 了。這個函數長啥樣呢?

【圖1】是它的一部分。你會發現它有一個明顯特點:當實部=-2、-4、-6、-8、-10……等等的時候,這個函數都和x軸相交。換言之,它的函數值在這些時候都是0.

【圖1】

這就是我們想要的東西:讓黎曼澤塔函數的函數值取0的點

當然,這些點太顯然了,很沒意思,用數學家的話說就是這都是“平凡”的解。簡單的原因是,我們剛才只考慮了虛部=0的情況。如果允許虛部隨便取,那要怎樣才能讓函數值取0呢?

這就是黎曼的猜想了:為了讓函數值取0,除了這些平凡解之外,剩下的所有解,不管虛部多大,實部都一定是1/2

或者說,如果我們把所有的解畫在坐標軸上,實部是橫,虛部是縱,那么它們應該像【圖2】這樣,除了左邊-2、-4、-6那一串,剩下右邊的,全都在1/2的這條紅線上。

【圖2】

換句話說,“黎曼猜想指的是:對于黎曼澤塔函數,其非平凡零點的實數部分都是1/2。” 也可以表述成,“黎曼澤塔函數的零點要么是負偶數,要么是實部為1/2的復數。”

……憑什么啊?

不知道!但這就是黎曼的猜想,而且這個猜想如果成立的話,將會非常非常非常的好用。實際上,數學家們已經在假定它成立的情況下,從它推出了成百上千條定理,涉及到好多好多領域的數學。假如有一天突然發現黎曼其實猜錯了,那大家就會很慌,有很多本來習以為常的東西都錯了,就像大廈的地基突然塌陷;但大家也會很興奮,因為這就意味著很多之前認為做不了的事情突然又可以做了。

但反過來如果終于有人能夠徹底證明黎曼真的是對的,那……其實不會造成什么立即的動蕩,因為大家一直都是假定它是對的,只不過終于所有人都能松一口氣睡個安穩覺了。(必須指出,黎曼猜想并不能直接用來解決大質數分解問題,它的成立并不意味著我們的加密系統要立刻完蛋。)

不造成立刻動蕩,不意味著證明不重要。為了這個定理大家已經花了一百五十多年,常規的辦法都試過了都不太管用,所以如果有人真的證明了它,幾乎肯定是找到了一條前無古人的新路線;而因為黎曼猜想的地位十分核心,所以這個路線幾乎肯定能用來干好多別的厲害的事情,甚至開辟一整個新領域。上一次出現這種事情,是證明費馬大定理。費馬大定理本身其實沒有特別特別重要,但是為了證明它而開發出的一系列數學工具改變了數學界的面貌;對于黎曼猜想,大家等的也是這樣的場景。

但究竟能不能等到嘛……這次就看24號海德堡大會上Michael Atiyah爵士到底能講出啥來了 _(:з」∠)_

以及,一個PS:

如果對黎曼澤塔函數取-1,就得到了那個著名的“公式”:1+2+3+4+……=-1/12

但是,這不是加法!不是加法!不是加法!不是說自然數的和是-1/12!這是一個發散的級數,按照標準的加法,談論它加起來是啥根本沒意義。

這個公式最早是歐拉搞出來的。歐拉那個時代,大家沒有搞明白微積分,做了很多亂來的事情,后來兩百年才慢慢救回來。歐拉證明這個“公式”的做法,按照今天的標準,就是錯的。沒懸念。

但是后來的數學家發現,雖然歐拉的證明是錯的,但是在有些特定的場合下,比如物理上的重整化或者數學的模形式,說“黎曼澤塔函數在-1處的值為-1/12” (或者,ζ(-1)=-1/12),這樣做居然很有用……

怎么說呢,牛人運氣好,歐拉蒙對了(雖然他幾乎肯定不知道自己蒙對了啥)。

但總而言之,在這個問題上數學家們費了很大的勁,重新定義了加法(真的),用很麻煩的嚴格辦法讓ζ(-1)=-1/12這個事情能夠成立。但是今天的數學家已經沒有人會把它寫成“1+2+3+4+……=-1/12”了。這樣做一是沒有必要,二是引起誤解:這里的加是所謂拉馬努金求和,根本就不是我們日常熟悉的那種加法。

所以再重復一遍:所有自然數加起來不是-1/12,而是一個沒有意義的東西,就像你算1÷0得到的是沒有意義的東西一樣。

今天油管上有很多視頻說證明1+2+3+4+……=-1/12,這些視頻99.99%都是錯誤的證明,都是亂搞,有的和歐拉一樣蠢,大部分比歐拉還蠢得多(咦這話說出來好像不是貶義)。還有好幾個類似的,比如1-1+1-1+1……=1/2,也是差不多的現象,錯誤的證明滿天飛;你可以給它一個嚴謹的證明,但那個證明會很難,而且使用的也不再是我們熟悉的加法減法。

The End

發布于2018-09-21, 本文版權屬于果殼網(guokr.com),禁止轉載。如有需要,請聯系果殼

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古生物學博士生,科學松鼠會成員

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